不变子群和正规子群的区别?

不变子群和正规子群都是群论中的重要概念，前者指在群运算下保持不变的子群，后者指在群内共轭变换下不变的子群。两者在定义和性质上存在明显差异，主要区别在于不变性条件的不同。不变子群强调子群对群运算的封闭性，而正规子群强调子群对共轭变换的稳定性。理解这些区别有助于深入分析群的结构和性质。

区别

不变子群：不变子群是指在群运算下保持不变的子群，即子群中的任意元素与群中任意元素运算后结果仍在子群内。这种不变性体现在子群对群运算的封闭性上，例如整数加法群中的偶数子群，无论与任何整数相加结果仍为偶数。不变子群的定义更侧重于运算的稳定性，不涉及共轭变换的概念。

正规子群：正规子群是指在群内共轭变换下保持不变的子群，即子群中的任意元素与群中任意元素共轭后结果仍在子群内。这种不变性体现在子群对共轭变换的稳定性上，例如对称群中的交错子群，任何元素共轭后仍保持偶置换的性质。正规子群的定义更侧重于共轭变换的不变性，是商群存在的前提条件。